理解范畴中的高阶结构和弱等价之间的对应，会使得我们对数学的理解更上一个台阶。
撰文 | 叶凌远
前言
今天这篇文章是 集合论 vs 范畴论 = 汇编语言 vs C++？｜范畴论哲学 I 的续篇。上一篇文章中，我们的目光主要集中在范畴内部，讨论范畴论作为一套数学语言，它如何从物体的关系（使用、功能）的角度从而更加准确地对描述了我们日常对数学结构的理解。换句话说，使用范畴论的语言，我们自然而然地会在同构的意义下理解数学。但同构只是数学研究中等价关系中的一种；对于不同的等价关系，我们需要有一种更为广泛的语言来叙述其性质，这就是范畴论的一个推广——高阶范畴的语言——所提供的。这篇文章从一个更为广泛的等价的概念出发，粗略地介绍高阶范畴的哲学思想和我们理解数学中不同的等价所具有的关联。全文共5000 字左右。
等价与不变性
什么时候两个数学物体是等价的？研究不同数学分支的人会对这个问题有不同的答案。
研究经典代数的可能会说：两个代数结构是等价的，当且仅当它们是同构的；
研究点集拓扑的可能会说：两个拓扑空间是等价的，当且仅当它们是同胚的；
研究同伦论的可能会说：两个拓扑空间是等价的，当且仅当它们是（弱）同伦等价的；
研究数理逻辑的人可能会说：两个逻辑系统是等价的，当且仅当它们具有相同的模型（参考 范畴逻辑 I——逻辑与数学结构的对应）；
研究证明论的可能会说：两个逻辑系统是等价的，当且仅当它们之间可以相互翻译且具有相同的证明论性质。
可以看出，对于不同的数学对象，我们有不同的自然的等价概念；更为重要的是，即使是对于相同的数学对象，在不同的语境中，我们也有不同的等价概念适用与它们（例如上面提到的拓扑空间、逻辑系统等等）。在这种情况下，往往一种等价的概念要弱于另一种，如拓扑空间（弱）同伦等价的概念弱于同胚，逻辑系统具有相同的模型弱于它们之间可以相互翻译。
为什么有这么多等价的概念，甚至对于相同的对象有不同的等价性概念？这与我们想考虑的不同的数学构造、性质的不变性 [invariance]息息相关。换句话说，对于每一类“自然”的数学构造和性质，都有一个对应的等价概念，其意义在于在这个等价概念下，数学对象关于这一类构造和性质具有不变性。例如，我们为什么希望考虑拓扑空间之间的同伦等价？因为现代数学研究拓扑空间最为重要的数学工具是，在代数拓扑中定义的各种代数不变量，而我们对拓扑空间构造的所有代数不变量关于同伦等价都是不变的。换句话说，对于拓扑空间的代数不变量这一性质，其自然对应的等价的概念应该是同伦等价，而不是同胚。
在前一篇文章 集合论 vs 范畴论 = 汇编语言 vs C++？｜范畴论哲学 I 我们提到了，范畴论的语言在很大意义上便是为了处理在同构意义下不变的数学——在大部分数学分支中，几乎我们遇到的所有重要数学对象的性质都是关于同构不变的，这也是为什么范畴论如此重要的原因。
我们还是把范畴论的语言与更经典的集合论的语言做一个对比，在集合论中，所有的数学最开始都是非常“严苛”的：每一个集合都由它其中的元素完全决定，拥有不同元素的集合——即使它们是同构的——在集合论的语言下它们也是不相等的；而在集合论的语境下，我们对于同构对象具有相同的数学性质这一点的把握，要么直接储存在我们的脑海中，要么在更为复杂的情况下，成为一个数学定理明确地出现在教材或论文中。但范畴论的语言则不是如此：从最开始，在范畴论的框架下定义的所有概念、证明的所有定理，都是关于同构不变的。换句话说，范畴论的语言从最开始就处理好了数学概念以及数学定理跟同构之间的不变性，不需要我们再花费更多的力气。如果你采用了范畴论的语言，那么自然而然地，你做的一切工作都应该对同构是不变的，这就是改换一套数学语言所能够带来的巨大威力。
尽管范畴论已经渗透到了现代数学中的各个分支，但在本科的数学教学或某些更加古老的数学研究分支中，还是很少采用范畴论的语言。其中一个很大的原因是，在这些领域内，其关心的问题中所涉及到有关同构的不变性都很简单，或者很显然，因此在这种情况下，是否采用范畴论的语言变得不那么紧迫。但随着现代数学的发展，当我们考虑的数学不变量更加复杂，采用范畴论的语言就显得更为重要。最为关键的是，现代数学不仅仅关心同构不变意义下的不变量了。对于许多的数学构造，如之前提到的拓扑空间的代数不变量，是对于一些更弱的等价概念不变的。例如在同伦论的语境下，数学家希望得到的是一种“同伦不变” [homotopy coherent] 的数学叙述方式。此时数学家发现，继续采用集合论的语言甚至变得根本不可能了，因为这种等价性的叙述涉及到了许多范畴的高阶性质——我们将在下一节更加详细地阐述这一点。数学在这个方向的进展，使得许多原本曾经认为范畴语言是“abstract nonsense”的数学家现在也开始不得不采用（高阶）范畴的语言。
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